Trung điểm là một khái niệm chúng ta đã học trong chương trình toán lớp 3 và củng cố, mở rộng cách chứng minh trung điểm trong chương trình toán lớp 6. Định nghĩa, tính chất của trung điểm và cách chứng minh trung điểm, các em còn nhớ chứ? Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giúp bạn tổng hợp những kiến thức về đoạn thẳng đứng giữa, cũng như Cách chứng minh trung điểm? với một ví dụ dễ hiểu.
Điểm giữa là gì?
Trung điểm là điểm ở giữa một đoạn thẳng bất kỳ, chia đoạn thẳng đó thành 2 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Ví dụ: Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều A, B (MA = MB).
Thuộc tính trung điểm của đoạn thẳng
Trung điểm của đoạn thẳng chia đoạn thẳng thành 2 đoạn thẳng bằng nhau.
Ví dụ: M là trung điểm của đoạn thẳng AB => Vậy MA = MB
Làm thế nào để vẽ giữa một đoạn thẳng
Trong một đoạn thẳng ta tìm được một điểm sao cho điểm đó chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau. Vậy điểm đó gọi là trung điểm của đoạn thẳng.
Ví dụ: Trên đoạn thẳng AB lấy điểm H sao cho AH = (1/2) AB. Vậy H là trung điểm của AB.
Các cách chứng minh trung điểm
Cách xác thực điểm giữa của đoạn thẳng theo định nghĩa
– Làm thế nào để chứng minh?: Muốn chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì phải đồng thời chứng minh điểm M nằm giữa A, B và MA + MB=AB
– Ví dụ: Cho AB = 8cm, với M là trung điểm của đoạn AB. Trên AB lấy 2 điểm C và D sao cho (AC=BD=3cm Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng CD.
Cách chứng minh trung điểm với tính chất của tam giác
Phương pháp: Để chứng minh trung điểm theo cách này trước hết phải nắm được các tính chất liên quan đến trung điểm của tam giác.
Cho tam giác ABC có 3 điểm M, N, P. lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB. sau đó
- AM, BN, CP lần lượt là trung trực của các cạnh BC, CA, AB.
- Ba trung tuyến này trùng nhau tại điểm G gọi là trọng tâm tam giác ABC.
- Ba đường thẳng MN, NP, PM còn được gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Những đặc điểm chính: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì 3 đoạn thẳng AG, BG, CG lần lượt đi qua trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB.
Trung tuyến của tam giác: Nếu MN là đường trung tuyến của tam giác ABC thì đoạn thẳng MN song song và bằng 1/2 độ dài cạnh đáy tương ứng.
– Ví dụ: Cho tam giác ABC có cạnh AB > BC. BE là tia phân giác, BD là trung tuyến. Đường thẳng đi qua C vuông góc với BE và cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G, K. Đoạn thẳng DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
trả lời
Xét Δ BCK có:
BF CK (gt)
BE là tia phân giác của góc B BF cũng là tia phân giác của góc B
⇒ BF vừa là trung tuyến vừa là tia phân giác của tam giác BCK BCK cân tại B
⇒ BC = BC
Trong đó BF là đường trung tuyến
CF = FC
Xét ΔCKA có:
CF = FK (đt)
CD = DA (có nghĩa là ABC)
⇒ FD // BA MD // BA
Mà CD = DA nên M là trung điểm BC
Cách chứng minh trung điểm dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt
Phương pháp: Để chứng minh trung điểm của một tứ giác cần biết một số tính chất về trung điểm của một tứ giác cụ thể:
- Đường trung bình trong hình thang luôn song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.
- Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau ở giữa mỗi đường.
Ghi chú: Đối với các hình như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên cũng có tính chất như hình bình hành.
– Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có I là giao điểm của các đoạn AC, BD. Gọi M là một điểm bất kì trên đoạn CD. MI cắt AB tại N. Chứng minh điểm I là trung điểm của MN.
trả lời
Vì ABCD là hình bình hành có I là giao điểm của hai đường chéo nên ta có: DI = MI
Xét DIM và BIN có: DI = BI (chứng minh trên)
⇒ ΔDIM = BIN (gcg)
Vậy IN = IM hay I là trung điểm của đoạn thẳng MN
Xác thực giá trị trung bình bằng thuộc tính vòng tròn
Phương pháp: Để chứng minh trung điểm ta dựa vào hệ thức giữa đường kính và dây cung trong đường tròn.
Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. CD là hợp âm bất kỳ của đường tròn. Khi đó, nếu AB cắt CD thì AB đi qua trung điểm của CD và ngược lại, nếu AB đi qua trung điểm của CD thì AB cắt CD.
Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn có AB
trả lời
Vì MA, MB là các tiếp tuyến vẽ từ điểm M của đường tròn (O) MA = MB
Xem xét MAO và MBO có
MA = MB (đã chứng minh ở trên)
MO là lợi thế chung
OA = OB (nửa đường kính ( O ))
⇒ MAO = MBO (cc c)
⇒ EO vuông góc với dây cung PQ
⇒E là trung điểm PQ
Cách chứng minh trung điểm nhờ phép đối xứng trục
Phương pháp: Hai điểm A và B gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là tia phân giác của AB. Khi đó AB cắt d và d đi qua trung điểm của AB.
Cách chứng minh trung điểm dựa vào phép đối xứng tâm
– Làm thế nào để chứng minh?: Hai điểm A và B gọi là đối xứng nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của AB.
Công thức xác định trung điểm của đoạn thẳng
Công thức xác định trung điểm của bất kỳ đoạn thẳng nào trong mặt phẳng nối các điểm (x1, y1) và (x2, y2) là:
Với kiến thức chung về Cách chứng minh trung điểm? của đoạn thẳng với định nghĩa và tính chất trên, hi vọng các em học sinh sẽ hiểu đúng và đầy đủ khái niệm trung điểm. Từ đó, vận dụng vào việc giải toán hình học nhanh hơn, chính xác hơn.